问题 5 (多选题)
如图所示，矩形线圈面积为 S，匝数为 N，线圈电阻为 r，线圈在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的 OO' 轴以角速度 ω 匀速转动，外电路电阻为 R，电压表、电流表均为理想电表。在线圈由图示位置转过 90° 的过程中，下列判断正确的是 ( )
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A. 电压表的读数为 $\frac{NBS\omega R}{\sqrt{2}(R+r)}$
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B. 通过电阻的电荷量为 $\frac{NBS}{2(R+r)}$
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C. 电阻所产生的焦耳热为 $\frac{\pi N^2 B^2 S^2 \omega R}{2(R+r)^2}$
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D. 绕圈由图示位置转过 30° 时的电流为 $\frac{NBS\omega}{2(R+r)}$
解答：
**选项分析：**
- **A. 电压表的读数：** 电压表测量的是外电阻 R 两端的电压有效值。电动势的峰值为 $E_m = NBS\omega$，有效值为 $E_{eff} = \frac{E_m}{\sqrt{2}} = \frac{NBS\omega}{\sqrt{2}}$。根据闭合电路欧姆定律，电流有效值 $I_{eff} = \frac{E_{eff}}{R+r} = \frac{NBS\omega}{\sqrt{2}(R+r)}$。电压表的读数 $U = I_{eff}R = \frac{NBS\omega R}{\sqrt{2}(R+r)}$。因此，A 选项正确。
- **B. 通过电阻的电荷量：** 在转过 90° 的过程中，磁通量的变化量 $\Delta \Phi = NBS - 0 = NBS$。根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，平均电动势 $\bar{E} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$，平均电流 $\bar{I} = \frac{\bar{E}}{R+r} = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t (R+r)}$。电荷量 $Q = \bar{I} \Delta t = \frac{\Delta \Phi}{R+r} = \frac{NBS}{R+r}$。因此，B 选项错误，应为 $\frac{NBS}{R+r}$ 而不是 $\frac{NBS}{2(R+r)}$。
- **C. 电阻所产生的焦耳热：** 焦耳热 $Q_J = I_{eff}^2 R t$。时间 $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$。所以 $Q_J = (\frac{NBS\omega}{\sqrt{2}(R+r)})^2 R \frac{\pi}{2\omega} = \frac{N^2 B^2 S^2 \omega^2}{2(R+r)^2} R \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi N^2 B^2 S^2 \omega R}{4(R+r)^2}$。因此，C 选项错误，公式有误。
- **D. 绕圈由图示位置转过 30° 时的电流：** 图示位置磁通量最大，电动势为零。转过 30° 时，电动势 $e = E_m \sin(30^\circ) = NBS\omega \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} NBS\omega$。瞬时电流 $i = \frac{e}{R+r} = \frac{NBS\omega}{2(R+r)}$。因此，D 选项正确。
**最终答案：AD**