问题描述
某电磁缓冲装置如图所示，两足够长且间距为 L 的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨左端与一阻值为 R 的定值电阻相连，导轨 BC 段与 B1C1 段粗糙，其余部分光滑，AA1 右侧处于磁感应强度大小为 B 方向竖直向下的匀强磁场中，AA1、BB1、CC1 均与导轨垂直，一质量为 m 的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度 v0 沿导轨向右经过 AA1 进入磁场，最终恰好停在 CC1 处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为 R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为 μ，AB=BC=d，导轨电阻不计，重力加速度为 g，下列说法正确的是（ ）
电磁缓冲装置示意图 (如果图片无法显示，请刷新页面或检查网络)
选项分析
A. 金属杆在磁场中做匀减速直线运动
分析： 因为金属杆在磁场中运动时，会产生感应电动势，进而产生感应电流。又由于感应电流受到安培力的作用，安培力方向与金属杆运动方向相反，会阻碍金属杆的运动。但是，安培力的大小 \(F_A\) 与速度 \(v\) 有关，具体关系如下： \(F_A \propto ILB\)，\(I = \frac{E}{R} = \frac{BLv}{R}\)，所以 \(F_A = \frac{B^2L^2v}{R}\)，可见安培力的大小与速度 \(v\) 成正比。因此，随着速度的减小，安培力也减小，加速度也在减小，所以金属杆做的不是匀减速直线运动，而是变减速直线运动。
结论： 错误，金属杆在磁场中做变减速直线运动，而非匀减速直线运动。
B. 在整个过程中，定值电阻 R 产生的热量为 \(\frac{1}{4}mv_0^2 - \frac{1}{2}\mu mgd\)
分析： 在整个过程中，根据能量守恒定律，金属杆的初动能一部分转化为电阻 R 产生的热量，一部分克服摩擦力做功。 从 AA1 到 BB1 段，金属杆在磁场中运动，产生感应电流，电阻 R 产生热量，同时受到摩擦力作用。从 BB1 到 CC1 段，金属杆在粗糙导轨上运动，仅受摩擦力作用，电阻 R 不再产生热量。 设磁场区域的长度为 d，粗糙区域的长度也为 d。 在磁场区域 AA1BB1，根据动能定理和能量关系，设金属杆离开磁场时的速度为 v1，电阻 R 上产生的热量为 QR1，克服摩擦力做功为 Wf1，则有： \(\frac{1}{2}mv_0^2 = Q_{R1} + W_{f1} + \frac{1}{2}mv_1^2\) (1) 其中 \(W_{f1} = \mu mgd\)。 在粗糙区域 BB1CC1，金属杆只受到摩擦力作用，最终静止，设此过程克服摩擦力做功为 Wf2，电阻 R 不产生热量，则有： \(\frac{1}{2}mv_1^2 = W_{f2}\) (2) 其中 \(W_{f2} = \mu mgd\)。 将 (2) 代入 (1) 得：\(\frac{1}{2}mv_0^2 = Q_{R1} + \mu mgd + \mu mgd\) 所以 \(Q_{R1} = \frac{1}{2}mv_0^2 - 2\mu mgd\)。 选项 B 表达式 \(\frac{1}{4}mv_0^2 - \frac{1}{2}\mu mgd\) 与计算结果不符。
结论： 错误，能量计算表达式不正确。
C. 金属杆经过 AA1B1B 区域过程，其所受安培力的冲量大小为 \(\frac{B^2L^2d}{R}\)
分析： 冲量 \(I = \int F dt\)，而 \(F = BIL = BL\frac{E}{R} = \frac{B^2L^2v}{R}\)，所以 \(I = \int \frac{B^2L^2v}{R} dt = \frac{B^2L^2}{R} \int v dt = \frac{B^2L^2d}{R}\)。 这里利用了 \( \int v dt = d \) ，即速度对时间的积分等于位移。
结论： 正确，安培力的冲量计算正确。
D. 若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离等于原来的 2 倍
分析： 设初速度为 \(v_0\) 时，在磁场中运动的距离为 \(x_1\)，在粗糙区域运动的距离为 \(d\)。 根据能量定理，有：\(-\mu mgd - \int_{0}^{x_1} \frac{B^2L^2v}{R} dx = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2\)。 若初速度加倍，设在磁场中运动的距离为 \(x_2\)，则有：\(-\mu mgd - \int_{0}^{x_2} \frac{B^2L^2v'}{R} dx = 0 - \frac{1}{2}m(2v_0)^2\)。 整理得：\(\int_{0}^{x_2} \frac{B^2L^2v'}{R} dx = 2mv_0^2 - \mu mgd\)。 由于速度与位移的关系不是简单的线性关系，因此无法直接判断 \(x_2\) 与 \(x_1\) 的倍数关系。 考虑能量转化，初动能转化为摩擦生热和电阻发热，\(E_k = Q + W_f\)，\(Q\) 与 \(x\) 有关，\(W_f = \mu mgd\)，因此 \(x\) 与 \(E_k\) 不是线性关系。
结论： 错误，金属杆在磁场中运动的距离不是原来的 2 倍。
正确答案
C. 金属杆经过 AA1B1B 区域过程，其所受安培力的冲量大小为 \(\frac{B^2L^2d}{R}\)